Spaltenraum einer Matrix

Lineare Algebra ist ein breites Thema der Mathematik mit Anwendungen in verschiedenen realen Situationen, insbesondere im maschinellen Lernen. Matrizen und Vektoren sind die grundlegenden Bausteine ​​der linearen Algebra und werden in verschiedenen Verfahren und Werkzeugen verwendet. Der Spaltenraum einer Matrix wird in diesem Artikel erörtert. Wir werden auch mehrere notwendige Terminologien durchgehen, um den Spaltenraum der Matrix zu verstehen.

Was ist die Spannweite eines Vektors??

Span bedeutet einfach, dass angesichts einer Reihe von Vektoren, wenn eine lineare Kombination auf diesen Satz von Vektoren angewendet wird und in diesem Vektorraum bleibt, diesen Vektorraum überspannt. Dies bedeutet, dass, wenn Sie einen Skalar mit einem bestimmten Vektor multiplizieren, in dieser Dimension bleiben, unabhängig davon, ob Sie mit der ersten, zweiten, dritten oder n -ten Dimension arbeiten. Es wird gesagt, dass es sich überall in dieser Dimension überall übernimmt. Wenn Sie einen Satz von Vektoren mit einem Skalar multiplizieren, zeigt dies lediglich an, dass der Satz von Vektoren, mit denen Sie arbeiten.

Was ist lineare Kombination?

Angenommen, Sie haben eine Reihe mathematischer Objekte x₁… .X_N diese Unterstützung der Skalarmultiplikation und Addition (e.G., Mitglieder eines Rings oder eines Vektorraums), dann y = a₁X₁+A₂X₂+… A_NX_N (wobei KI einige Skalarenwerte sind). Die beliebteste Illustration ist die Verwendung von 3D -Vektoren im euklidischen Raum. Ein Vektor, der sich in derselben Ebene durch den Ursprung befindet wie die ursprünglichen zwei Vektoren, die am Ursprung gesetzt werden.

Was sind Zeilen- und Spaltenräume?

Angenommen, a ist eine MXN -Matrix über dem Feld f f ist. Dann gibt es N-Komponenten-Vektoren in den Reihen, und es gibt m von ihnen. In ähnlicher Weise wird jeder M-Komponentenvektor durch N-Säulen dargestellt. Der Unterraum von f^N Von den Zeilenvektoren gebildet ist A's Zeilenraum, und seine Elemente sind lineare Kombinationen der Zeilenvektoren. Dieser Raum hat Dimension, und die Spalten zwingen solche Beziehungen zwischen den Zeilen und umgekehrt. In ähnlicher Weise ist der Spaltenraum der Matrix der Unterraum von f^M gebildet durch die Säulenvektoren der Matrix. Obwohl sich dieser Raum im Allgemeinen vom Reihenraum unterscheidet, hat er die gleichen Abmessungen wie Zeilenraum, da jede lineare Beziehung zwischen den Spalten auch solche Beziehungen zwischen den Zeilen auferlegt und umgekehrt.

Tauchen Sie mehr in den Spaltenraum

Span ist das grundlegendere Konzept. Einfach ausgedrückt, die Spannung der Spalten eines bestimmten Vektors ist das, was wir den Spaltenraum nennen. Sie können alle möglichen linearen Kombinationen von Vektoren einnehmen, wenn Sie eine Sammlung davon haben. Der resultierende Vektorraum ist als Spannweite der ursprünglichen Sammlung bekannt. Der Spaltenraum ist eine Sammlung eines Satzes aller möglichen linearen Kombinationen der Spaltenvektoren der Matrix. Mit anderen Worten, wenn ein Vektor B in r^M kann als lineare Kombination der Säulen von A ausgedrückt werden, sie befindet sich im Spaltenraum eines A. Das heißt, b ∈ Cs (a) genau dann, wenn es Skalare gibt x₁, X₂,… , X_N so dass

Als Produkt von A mit einem Spaltenvektor kann jede lineare Kombination der Säulenvektoren einer Matrix A geschrieben werden:

Daher besteht der Spaltenraum der Matrix A für alle möglichen Produkte a*x für x ∈ C^N. Das obige Ergebnis ist auch das Bild der entsprechenden Matrix -Transformation.

Normalerweise bezeichnen wir die Zeile und die Säulenräume der Matrix (sagen wir a) durch c (at) bzw. c (a).

Abschluss

Dieser Artikel behandelte verschiedene Themen im Zusammenhang mit dem Spaltenraum der Matrix. Die Spannweite eines Vektors ist der Raum, der nach einer linearen Kombination auf die Sammlung von Vektoren unverändert bleibt. Nach dem Multiplizieren einer Reihe von Vektoren und Skalaren wird die Summe als lineare Kombination bezeichnet. Die Sammlung aller denkbaren linearen Kombinationen der Säulenvektoren einer Matrix ist der Spaltenraum der Matrix.